要解决的典型问题

该问题是计算一组给定的可能投资资产的切线投资组合。

什么是有效边界？

您需要查找一组给定投资资产的有效边界。 您可以在以下主题中查找相关文章：http://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory#The_efficient_frontier。

假设 I 是一组给定的投资资产，按照 i=1..I 编制索引。 这些投资的 ROI 向量是随机可变向量 R。投资资产 i 的随机变量是 R(i)。 预期值是 E(R(i))=r(i)，R 的协方差矩阵是 COV。 对于每项投资，我们假设知道预期回报为 r(i)，还知道COV（R 的协方差）。因此对于每项 i,j 投资，COV(i,j) 是 R(i) 与 R(j) 的协方差，而 COV(i,i) 是 R(i) 的方差。

某位投资者想要通过混合多项资产，并获取风险低于任意单项投资资产的投资组合，对自己的财富 100 进行投资。 为此，她利用组合资产的负协方差。 该混合通过向量 (X1,…, Xi,…XI) 进行表示。

遗憾的是这两个目标是矛盾的，因为最大化 TR 也会最大化 TV，反之亦然。 因此，我们的想法是找到一个折衷 ρ，并最大化 TR-(ρ/2).TV。

当 ρ=0 时，意味着投资者并不在意风险，当 ρ=1 时，意味着两个目标同等重要。 ½ 系数是标准化因子。 如果超过 ρ=1，意味着最小化风险比最大化投资回报更重要。 在该问题中，我们仅对 [0,1] 范围中的 ρ 感兴趣。

r 表示方差惩罚。

在现代投资组合理论中，针对给定投资资产集 I 的所有可能的 (TV,TR) 集称为“可能的投资组合集”。 该空间区域 (TV,TR) 的上边缘比下方任何一点都更加有趣，因为对于给定风险 TV，它允许更好的预期投资回报，因此任何投资者都想要选择该边界上的某一点。

（该图摘自文章 http://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory#The_efficient_frontier。）

当最大化给定 ρ 的 TR-ρTV 时，在先前等式表示的约束下，我们的确获得了有效边界上的一点。 请注意，TV 是一个二次项，并且 TV 是凸面，因为根据协方差矩阵的定义（所有 Xi 都位于 [0,100] 中），COV 具有半正定性。 因此通过二次规划可以解决此问题。

计算有效边界

为了计算有效边界上的 N 个点，从 0 - 1 的范围内以增量 1/(N-1) 取不同的 ρ 值。 即：

计算切线资产组合

从先前所述优化问题产生的 N 个最优点（记录为 (TVp,TRp)）位于效率边界上。

投资者对于切线投资组合感兴趣。 假设 RFR 是已知的最佳无风险投资资产。 这意味着 RFR 的 TV=0。 点 (0,RFR) 可以在最后一个图上绘制。 切线投资组合 (TVt,TRt) 由效率边界和包含无风险点的正切直线的交叉定义。 该点具有最佳边际增益比任何可能的投资组合 (TV,TR)，将被我们的投资者选中。 可以使用精度 N 和 N 个点 (TVp,TRp) 进行计算。

我们从 {1,..N} 中选择 q，以使 达到最大。

所有 N 个优化问题 p 都是独立的，因此可以并行处理。

在以下流程图中，输入数据摘自示例：

<Install_dir\opl\examples\opl_interfaces\java\ConcurrentProcessing\portfolio.mod